Пусть p(n) — вероятность того, что ни одно из n писем, случайным образом запечатанных в приготовленные для них n конвертов, не дойдёт до своего адресата. Найти предел p(n)при n→∞.

Лектор роняет указку, она падает с кафедры и ломается на три куска. Найдите вероятность того, что из обломков можно сложить треугольник. (Считать, что места разломов — независимые случайные величины, равномерно распределённые по длине целой указки.)

В трёхмерном пространстве рассмотрим все такие треугольники, что координаты их вершин задаются целыми числами из набора [0,1,2,3,4]. Сколько всего среди этих треугольников равносторонних?

В казино десятая часть игроков - профессионалы. Вероятность вытащить туза из колоды для профессионала равна 9/10, для обычного игрока 1/13. Один из партнеров по игре, перемешав колоду, сразу вытаскивает  туза. Чему равна вероятность, что перед нами профессионал.

Рассмотрим ряд Тейлора функции:

f(x) = 1/(1-x-x²)

в окрестности x=0. Чему равен коэффициент этого ряда при x¹⁰?

Через маленький населённый пункт Грюнхаузен проходит по прямой линии оживлённая трасса федерального значения. Жители городка добились наконец постройки объездной дороги. График показывает участок карты, на которой прямая через точки А и C — бывшая трасса, а линия, проходящая через красные точки — новая объездная дорога. Все расстояния даны в километрах.

Новая дорога проходит через точки A, B, C и в точке А плавно переходит в старую трассу. Эта дорога описывается полиномом третьего порядка с рациональными коэффициентами.

Закрашенная область – собственно городок. Его северная граница соответствует параболе c рациональными коэффициентами. Граница городка проходит через точки D,E и F.

Участок земли, находящийся между новой дорогой, северной границей городка и прямолинейными участками старой трассы (до пунктов А и C), будет использован под промзону. Сколько денег получит городская казна при продаже участка по цене 10.95 евро за квадратный метр? Ответ представьте в миллионах евро, округлив до ближайшего целого числа.

Муравей начинает свой путь в вершине куба и перемещается по ребрам в соответствии со следующим правилом: в каждой вершине он выбирает  одно из трех ребер выходящих из этой вершины. Каждое ребро он выбирает с одинаковой вероятностью, независимо от предыдущего выбора. Какова вероятность, что муравей побывает в каждой вершине лишь раз?

Найдите минимальное натуральное число n, n>2, такое что сумма квадратов последовательных n натуральных чисел равна квадрату некоторого натурального числа.

Даны 6 карточек. На каждой из них написано натуральное число. Вы произвольно берете три карточки и вычисляете сумму чисел на них. Вы сделали все 20 возможных комбинаций и заметили, что десять полученных сумм равны 16, а десять других - 18. Какое число из написанных на карточках наименьшее?

В прямоугольной декартовой системе координат заданы три точки: K(41;29), L(-15;22), M(15;-23). Известно, что они являются вершинами равносторонних треугольников BCK, CAL и ABM, построенных на сторонах некоторого треугольника АВС и лежащих вне его. Найдите координаты вершин треугольника АВС. В ответе укажите сумму координат вершины В, округлив её до ближайшего целого числа.