На катетах треугольника АВС, равных |АС|=3 и |ВС|=4, построили во внешнюю сторону треугольника правильные треугольники ACD, BCE. Найти квадрат площади треугольника KLM, вершины которого являются серединами отрезков АС, ВС, DE соответственно. 

Квадраты ABCD, A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂ расположены по убыванию площадей следующим образом: первые 2 квадрата с совмещением сторон CD и А₁В₁(вершины D и А₁ совмещены, вершина В₁ лежит на стороне CD), вершина D₂ третьего квадрата совмещена с D и А₁, а сам квадрат внутри первых двух квадратов так наклонен, что вершина В₁ лежит на стороне В₂С₂ и прямая А₂В₂ проходит через вершину С. Площадь первого квадрата больше площади второго квадрата в 2 раза. Известно, что все три площади имеют целочисленное значение. Найти наименьшую сумму площадей всех трех кваратов.  

В тупоугольном равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС с вершины А провели высоту AH, с точки Н провели перпендикуляры НМ и НК к сторонам АВ и АС соответственно. Найти длину отрезка МК, если известно, что |АВ|=5, |АС|=8.

В квадрате ABCD построен треугольник АКМ, где вершина К лежит в середине стороны ВС, вершина М лежит на стороне CD. Найти отношение площадей треугольника АКМ и квадрата ABCD при наименьшей сумме длин сторон КМ и АМ. 

Квадраты ABCD, A₁B₁C₁D₁ и треугольник расположены по убыванию площадей следующим образом: квадрата с совмещением сторон CD и А₁В₁(вершины D и А₁ совмещены, вершина В₁ лежит на стороне CD),  внутри квадратов расположен треугольник, вершины которого расположены в центрах квадратов и в середине отрезка AD1. Найти сумму наименьших целочисленных площадей всех трех фигур, при известном соотношении площадей двух квадратов 2:1.

Вписанная и вневписанная окружности прямоугольного треугольника с радиусами r и R соответственно  имеют две точки касания с гипотенузой, расстояние между которыми равно d. Найти наименьшее значение суммы R+r+d при различных целочисленных значениях R, r, d. 

Внутри треугольника ABC выбрана точка из которой проведены отрезки к каждому из углов треугольника. В результате исходный треугольник разбился на три неконгруэнтных треугольника с целочисленными сторонами. Найдите минимально возможную площадь треугольника ABC. В ответе введите квадрат этой площади.

Треугольник с целочисленными сторонами имеет две стороны, имеющие значения длин последовательные натуральные числа, с углом между собой в два раза большего одного из двух других углов. Найти сумму  наименьших периметров двух таких треугольников.

В прямугольный треугольник АВС (угол С - прямой) вписан прямоугольный треугольник А₁В₁С₁ (угол С₁ - прямой) так, что вершины А₁, В₁, С₁ лежат на сторонах треугольника АВС против соответствующих углов А, В, С. Отрезок СС₁ перпендикулярен гипотенузе АВ,  |АС₁|=16, |А₁В|=10, |А₁С|=5. Найти отношение площади треугольника А₁В₁С₁ к площади треугольника АВС. 

Биссектрисы вписанного в окружность египетского треугольника (со сторонами 3,4 и 5) на  продолжении пересекают её в точках, являющиеся вершинами другого треугольника. Найти площадь этого треугольника.