Обозначим через f(n) количество способов, которыми можно построить башню 3×3×n из блоков 2×1×1.

Блоки можно вращать произвольным образом. При этом башни, отличающиеся поворотом или симметрией, считаются различными.

Например, 

f(2) = 229,

f(4) = 117805,

f(6) = 64647289,

f(63) mod 123456789 = 75292539,

f(66) mod 123456789 = 56150940.

Здесь a mod q означает остаток от деления a на q.

Найдите f(6¹²³⁴⁵) mod 123456789.

Рассмотрим пару последовательностей a_n и s n , заданных следующим образом:

a₁ = 1, s₁ = 1, a_n = s_n-1 mod n, s_n = s_n-1+ a_n×n.

(Здесь и далее "x mod y" означает остаток от деления x на y.)

Первые 10 элементов последовательности an:

1,1,0,3,0,3,5,4,1,9.

Первые 10 элементов последовательности sn:

1,3,3,15,15,33,68,100,109,199.

Обозначим через h(N,M) количество таких пар (p,q), для которых

1≤p≤q≤N  и  (s_p + s_p+1 +… + s_q-1 + s_q ) mod M = 0

Можно проверить, что h(10,10)=5, а соответствующие пары – (1,6), (4,5), (4,9), (6,9) и (8,8).

h(10⁴,10³)= 107796.

Найдите h(10¹²,10⁶).

На каждую клетку доски N×N положили по шашке, окрашенной в белый цвет с одной стороны и в черный цвет с другой.

Каждым ходом разрешается перевернуть одну шашку, а вместе с нею N-1 шашек, стоящих  на одной с ней вертикали, и N-1 шашек, стоящих  на одной с ней горизонтали. Таким образом, каждым ходом игрок должен перевернуть 2×N-1 шашку. Игра заканчивается, когда все шашки будут стоять белой стороной вверх. Ниже приведен пример игры для доски 5×5.

Несложно проверить, чтобы закончить игру из данной начальной позиции, нужно как минимум 3 хода.

Пусть строки и столбцы перенумерованы целыми числами от 0 до N-1.

Построим на доске N×N начальную конфигурацию C_N. Для этого на клетку с координатами x и y положим шашку черной стороной вверх, если (N-1)²≤x²+y²<N², и белой стороной вверх в противном случае. Конфигурацию C₅ мы видели в приведенном примере.

Пусть T(N) – минимальное количество ходов, необходимых для окончания игры из начального положения C_N (если это невозможно T(N) = 0).

Ясно , что T(1)=T(2)=1. Мы видели, что T(5)=3. Можно проверить, что T(10)=29, а T(1000)=395253.

Найдите сумму T(k!) для 1≤k≤12.

Будем вырезать из бумаги в клетку прямоугольники размером w × h клеток, где w и h – натуральные числа. Некоторые из них можно разрезать по клеточкам на две части так, что из этих частей составится новый прямоугольник другого размера.
Например, прямоугольник размером 9 × 4 клетки можно превратить в прямоугольники 18 × 2, 12 × 3 или 6 × 6, как показано на рисунке:

Аналогично, из прямоугольника 9 × 8 можно сделать прямоугольники размером 18 × 4 и 12 × 6 клеток.
Обозначим через F(w, h) количество различных прямоугольников, которые можно получить из прямоугольника размером w × h клеток. При этом прямоугольники с размерами a × b и b × a считаются одинаковыми, а прямоугольники, конгруэнтные исходному, не учитываются.
Тогда получим: F(2,1) = 0, F(2,2) = 1, F(9,4) = 3 и F(9,8) = 2.
Пусть G(N)=Σ F(w, h) для всех 0 < h ≤ w ≤ N.
Можно проверить, что G(10) = 55, G(10³) = 971745, а G(10⁵) = 9992617687.
Найдите ΣG(10^k), где 1≤k≤12. В качестве ответа укажите 8 младших цифр результата.

"Передур же поехал дальше долиной реки, вдоль которой расстилались луга. И на одном берегу реки он увидел стадо белых овец, а на другом - стадо черных. И как только одна из белых овец блеяла, черная овца переплывала реку и становилась белой. Когда же блеяла черная овца, одна из белых овец переплывала реку и делалась черной"
Передур, сын Эвраука

Первоначально каждое стадо состоит из n овец. Каждая овца, независимо от масти, может заблеять в очередной раз. Передур стремится максимизировать количество черных овец. Для этого он может прогонять прочь любое количество белых овец, но делать это он может лишь после того, как заблеяла очередная овца и до того, как овца с противоположного берега вошла в реку.
Пусть E(n) – ожидаемое количество черных овец, которое останется у Передура при оптимальной стратегии. Например, E(5) ≈ 6.871346…
Найдите наименьшее n, для которого E(n)>20000.

Пусть  a, b, c – натуральные числа, а функция F(n) определена следующим образом:
F(n) = n - c при n > b
F(n) = F(a + F(a + F(a + F(a + n)))) при n ≤ b. 
Пусть также 

Тогда, например, при a = 50, b = 2000 и c = 40, получим F(0) = 3240, F(2000) = 2040,
а Z(50, 2000, 40) = 5044935.
Найдите остаток от деления Z(21⁷, 7²¹, 12⁷) на 987654321.

Известно, что некий вирус поражает 2% овец. Ветеринару нужно выявить зараженных животных в стаде из 25 голов. При этом в его распоряжении имеется достаточно дорогой, но очень чувствительный метод анализа, позволяющий обнаруживать инфекцию в крови при крайне низких ее концентрациях.

Чтобы сэкономить дорогостоящие реактивы, ветеринар решил не проверять каждую овцу, а разработал следующую программу действий:
Он разбил стадо на 5 групп по 5 овец в каждой. Пробы крови для каждой группы были объединены и проанализированы. Затем, если в объединенной пробе вирус не обнаружен, все овцы из данной группы считаются здоровыми. В противном случае анализируются пробы крови для каждого из пяти животных группы.
Поскольку вероятность заражения отдельной овцы равна 0,02, первый тест для каждой группы даст
• Отрицательный результат с вероятностью 0,98⁵ = 0,9039207968. Для такой группы дополнительные тесты не понадобятся.
• Положительный результат с вероятностью 1 - 0,9039207968 = 0,0960792032. Для такой группы потребуется проанализировать еще 5 отдельных проб.
Тогда ожидаемое количество анализов для каждой группы составит 1 + 0,0960792032 × 5 = 1,480396016, а для всего стада – 1,480396016 × 5 = 7,40198008 тестов, то есть экономия составит более 70%!
Однако это не предел. Алгоритм можно еще усовершенствовать следующим образом:
• Сначала можно проанализировать объединенную пробу для всех 25 овец. Легко проверить, что примерно в 60,35% случаев результат будет отрицательный, и дальнейшее исследование не потребуется.
• Если групповая проба для 5 овец была положительной, и первые четыре овцы из группы оказались здоровы, то пятую можно не проверять – она наверняка инфицирована.
• Можно попробовать поварьировать размер и количество групп. Это позволит минимизировать ожидаемое количество анализов.
Чтобы не усложнять задачу, мы несколько ограничим круг рассматриваемых алгоритмов. Мы примем следующее дополнительное правило: если проанализирована объединенная проба для группы овец, то овцы, не входящие в данную группу, не исследуются, пока не поставлен окончательный диагноз каждой овце из данной группы.
Оставаясь в рамках данного правила, мы можем найти оптимальную стратегию, позволяющую ограничиться всего 4,155452 тестами в среднем для стада из 25 овец и вероятности заражения 0,02.
Обозначим через T(s,p) ожидаемое количество тестов при использовании оптимальной стратегии, когда стадо состоит из s овец, а вероятность заражения отдельной овцы равна p.
Тогда T(25, 0,02) ≈ 4,155452 и T(25, 0,10) ≈ 12,702124.
Найдите p, для которого T(10000, p)=5000. Результат умножьте на миллион и округлите вниз до целого.

На рисунке изображены пчелиные соты, каждая ячейка которых представляет собой правильный шестиугольник со стороной 1.

Одну из ячеек занимает пчелиная матка.
Обозначим через B(L) количество ячеек, удаленных от матки на расстояние L (в этой задаче мы будем измерять расстояния между центрами ячеек).
Считая соты достаточно большими, получим  B(√3) = 6, B(√21) = 12 и B(111 111 111) = 54.

Найдите количество таких L ≤ 3•10¹¹, для которых B(L) = 378.

Ответ:

Пусть a(n) – наибольший корень многочлена P(x) = x³ - 3ⁿx² + n, например a(2)=8,97517184...
Пусть t(n,p)=[a(n)^p], где скобки […] означают округление вниз до целого.

Найдите восемь младших десятичных знаков суммы ∑t(i,333333333) для i=1,2,3,...30.

Возьмем натуральное число n и рассмотрим последовательность s(n)={1+n/1, 2+n/2, 3+n/3, …k+n/k,…}. Если эта последовательность не содержит целых составных чисел, будем говорить, что число n не порождает составных.
Легко проверить, что последовательность s(30)={31, 17, 13, 11.5, 11, 11, …} содержит только простые и нецелые числа. Поэтому число 30 не порождает составных.
Найдите количество восьмизначных чисел, которые не порождают составных.