Рассмотрим треугольник Паскаля:

 1 
 1  1 
 1  2  1 
 1  3  3  1 
 1  4  6  4  1 
 1  5  10  10  5  1 
 1  6  15  20  15  6  1 
1  7  21  35  35  21  7  1
.........

В первых восьми его строках содержится 12 различных чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 20, 21 и 35.
Назовем натуральное число свободным от квадратов, если оно не кратно никакому квадрату простого числа. В первых восьми строках  треугольника Паскаля содержится 10 различных чисел, свободных от квадратов, а два числа – 4 и 20 – не свободны от квадратов.
Сколько различных чисел, свободных от квадратов, содержится в первых 500 строках треугольника Паскаля?

Числами Хэмминга называются такие натуральные числа, у которых нет простых делителей, больших, чем 5. Вот первые числа Хэмминга: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15. Их сумма равна 75. Существует 1105 чисел Хэмминга, не превышающих 10⁸. Их сумма равна 14954859000

Если у натурального числа нет простых делителей, превышающих n, мы будем называть его обобщенным числом Хэмминга типа n. Например, числа Хэмминга являются обобщенными числами Хэмминга типа 5.

Найдите сумму обобщенных чисел Хэмминга типа 70, не превышающих 2?10⁹.

Оля и Дима играют в кости.
У Оли шесть костей в форме октаэдра, и грани каждой из них занумерованы числами от 1 до 8.
У Димы четыре кости в форме додекаэдра, и грани каждой из них занумерованы числами от 1 до 12.
В каждом туре игроки бросают все свои кости по одному разу. Побеждает тот, у кого сумма выпавших очков больше. При равенстве фиксируется ничья.
Каково математическое ожидание количества побед Оли после миллиона туров?
Результат округлите вниз до целого.

На доске записали 17-значное число, являющееся полным квадратом. Затем 8 цифр стерли и заменили их звездочками. Вот, что получилось:
1 * 4 * 1 * 4 * 1 * 4 * 1 * 4 * 1
Найдите сумму всех 17-значных чисел, которые могли быть написаны на доске первоначально.

Рассмотрим движение робота. Его траектория представляет собой гладкую кривую, составленную из 72-градусных дуг определенного радиуса. На каждом шаге робот может двигаться по часовой стрелке или против, но не может поворачиваться на месте.

На рисунке показан замкнутый путь робота, состоящий из 25 дуг и начинающийся в направлении "на север", которое обозначено стрелкой. Всего замкнутых траекторий такой длины, начинающихся в северном направлении можно насчитать 70932.

Сколько существует замкнутых траекторий, состоящих не более чем из 70 дуг, и начинающихся в северном направлении. (По одной дуге робот может проходить несколько раз).

Пусть на координатной плоскости точка O(0,0) - начало координат, а C - точка с координатами (r,r).
Обозначим через N(r) количество тупоугольных треугольников OBC, у которых сторона OB короче стороны OC, а обе координаты вершины B - целые числа.

Например, N(1)=2, и N(4)=60.

Найдите N(2²⁷).

Для натурального числа n обозначим через σ₂(n) сумму квадратов его делителей. Например,
σ₂(6) = 1² + 2² + 3² + 6² = 50
σ₂(25) = 1² + 5² + 25² = 651
Число 50 начинается с цифры 5, а число 651 – с цифры 6.
Найдите сумму таких n из интервала 0 < n < 64 000 000, для которых σ₂(n) начинается с цифры 6.

В данной задаче мы будем рассматривать "ориентированные" тетраэдры, координаты вершин которых имеют вид:
{(x, y, z), (x+a, y, z), (x,y+a,z), (x,y,z+a)}, a>0, и x,y,z,a – целые числа. Объем такого тетраэдра равен a³/6.
Если мы захотим найти общий объем объединения нескольких ориентированных тетраэдров, то, возможно, он окажется меньше суммы их объемов, если некоторые из тетраэдров пересекаются.
Построим последовательность ориентированных тетраэдров T₁, T₂, …, T_n,… следующим образом:
x_n = S_4n-3 (mod 10000)
y_n = S_4n-2 (mod 10000)
z_n = S_4n-1 (mod 10000)
a_n = 1+S_4n (mod 699),
а S_k  получены при помощи генератора случайных чисел Фибоначчи с запаздываниями:
При 1≤k≤55, S_k = [100003 - 200003k + 300007k³] (mod 1000000), и при 56≤k, S_k = [S_k-24  + S_k-55 ] (mod 1000000).
(p (mod q) означает остаток от деления p на q.)
Таким образом, у тетраэдра T₁ x =7, y=53, z=183, a=655, у тетраэдра T₂ x =863, y=1497, z=2383, a=112 и т.д.
Объем объединения первых 300 ориентированных тетраэдров T₁ … T₃₀₀ равен 3999927695 (по счастливому совпадению это число оказалось целым).
Найдите объем объединения первых 50000 ориентированных тетраэдров T₁ … T₅₀₀₀₀ (благодаря еще одному счастливому совпадению это число тоже целое).

Напомним, что функцией Эйлера φ(n) для натуральных n называют количество натуральных чисел, не превышающих n и взаимно простых с n.
Взяв некоторое число n,  будем строить цепочку n, φ(n), φ(φ(n)), φ(φ(φ(n)))…, пока не получим 1. Например, начав с 5, получим последовательность 5,4,2,1, содержащую 4 члена. Ниже приведены все последовательности, содержащие 4 члена.

5,4,2,1
7,6,2,1
8,4,2,1
9,6,2,1
10,4,2,1
12,4,2,1
14,6,2,1
18,6,2,1

Ровно две из них начинаются с простых чисел.
Найдите сумму всех простых чисел, не превышающих 40000000, с которых начинается последовательность длиной 25 и более членов.

При строительстве стены используются кирпичи размером 2×1 и 3×1 (горизонтальный размер × вертикальный размер). Чтобы в стене не образовалась трещина, стыки между кирпичами не должны располагаться непосредственно друг над другом.
 
На рисунке красным цветом показано недопустимое расположение стыков.
Существует всего 8 допустимых способов построить стену длиной 9 и высотой 3 единицы. (Симметричные способы считаются различными.)
Найдите, сколькими способами можно построить квадратную стену, длина и высота которой равны 32 единицам. В качестве ответа укажите 8 младших разрядов результата.