Лента событий:
Lec
добавил комментарий к задаче
"Четырёхугольники в прямоугольниках"
(Математика):
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Задачу решили:
10
всего попыток:
12
Будем называть четное натуральное число N приемлемым, если все его различные простые делители являются последовательными простыми числами. В частности, все положительные степени 2 являются приемлемыми. Число N=630 приемлемо, поскольку оно четно, а его различные простые множители – 2,3,5,7 – это последовательные простые числа. Число N=660 неприемлемо, поскольку в последовательности его простых множителей – 2,3,5,11 – пропущено простое число 7. Если N – приемлемое число, то наименьшее число M>1, для которого N+M – простое число, будем называть псевдо-форчуновым числом приемлемого числа N. Найдите наименьшее приемлемое N, для которого псевдо-форчуново число равно 97.
Задачу решили:
4
всего попыток:
7
Для натурального числа k обозначим через d(k) сумму его десятичных цифр. Например, d(42) = 4+2 = 6. Обозначим через S(n) количество натуральных чисел k < 10n, таких что
Можно подсчитать, что S(9) = 5464, и S(20) = 36035277144875036. Найдите остаток от деления S(2012) на 109.
Задачу решили:
3
всего попыток:
3
Рассмотрим две окружности, у которых и центры, и точки пересечения имеют целочисленные координаты. Выпуклую область, ограниченную такой парой окружностей будем называть линзой, если она не имеет внутренних точек с целочисленными координатами. Радиусы окружностей, ограничивающих линзу, назовем радиусами линзы. На рисунке ниже показаны следующие окружности: C0: x2+y2=25 Линзы, заключенные между окружностями C0 и C1 и между C0 и C2, закрашены красным. Обозначим через L(N) количество различных пар чисел (r1,r2), для которых существует линза с радиусами r1 и r2, и 0<r1≤ r2≤ N. Можно проверить, что L(10) = 30 и L(100) = 3442. Найдите Σ L(10k), где 1 ≤ k ≤ 5.
Задачу решили:
5
всего попыток:
6
Рассмотрим треугольник ABC с целочисленными сторонами. Пусть k – биссектриса угла ACB, m – касательная в точке C к окружности, описанной вокруг ABC, а прямая n проведена через точку B параллельно m. Прямые k и n пересекаются в точке E, как показано на рисунке: Сколько существует треугольников ABC со сторонами BC ≤AC ≤AB≤ 30000, для которых длина BE оказывается целым числом?
Задачу решили:
2
всего попыток:
2
На плоскости даны четыре точки с целочисленными координатами: A(a, 0), B(b, 0), C(0, c) и D(0, d), где 0 < a < b и 0 < c < d. Точка P(x,y) с целочисленными координатами выбрана на отрезке AC так, что треугольники ABP, CDP и BDP оказываются подобными.
Легко показать, что при этом a=c=x+y. Поэтому, задав подходящим образом четверку чисел (x,y,b,d), мы однозначно определим размер и положение наших треугольников. Например, четверки (x,y,b,d)=(1,1,3,4) и (x,y,b,d)=(1,1,4,3) обе удовлетворяют указанным условиям: каждая из них задает три подобных треугольника. Мы будем считать различными такие четверки, отвечающие взаимно симметричным конфигурациям. При b+d<100 существует 110 различных четверок, задающих три подобных треугольника. При b+d<100 000 существует 395662 различных четверок, задающих три подобных треугольника. Сколько существует различных четверок, задающих три подобных треугольника при b+d<100 000 000?
Задачу решили:
6
всего попыток:
7
В сильно упрощенной модели белки можно рассматривать как цепочки гидрофобных (H) и полярных (P) элементов, например HHPPHHHPHHPH. В этой задаче мы будем считать, что ориентация белка существенна, то есть белки HPP и PPH мы будем считать различными, а количество белков из n элементов будет равно 2n. Гидрофобные элементы притягиваются друг к другу, и белок принимает наиболее энергетически выгодную конфигурацию так, чтобы максимизировать количество связей H-H. Поэтому элементы H часто находятся внутри белка, а элементов P больше снаружи. Конечно, настоящие белки имеют трехмерные конфигурации, но мы еще несколько упростим модель, ограничившись двумя измерениями и предполагая, что звенья цепочки занимают места в клетках квадратной решетки. На рисунке показаны две конфигурации одного белка (связи H-H отмечены красными точками)
В конфигурации слева сформировалось всего лишь 6 связей H-H, поэтому такая конфигурация энергетически невыгодна и не может встретиться в природе. Правая конфигурация имеет девять связей H-H, и это максимальное значение для такой цепочки. Будем называть оптимальными те конфигурации, которые обеспечивают максимальное количество связей H-H для данной цепочки. 77 из 256 восьмиэлементных цепочек в оптимальной конфигурации имеют более 4 связей H-H. Сколько цепочек, состоящих из 15 элементов, в оптимальной конфигурации будут иметь более 9 связей H-H?
Задачу решили:
4
всего попыток:
5
Назовем натуральное число n мощным, если для его любого простого делителя p число n делится также на p2. Назовем натуральное число n точной степенью, если оно является степенью другого натурального числа. Назовем натуральное число n ахиллесовым, если оно мощное, но не является точной степенью. Например, числа 864 = 25•33 и 1800 = 23•32•52 — ахиллесовы. Назовем натуральное число S сильно ахиллесовым, если и S, и φ(S) — ахиллесовы. Здесь φ(S) означает функцию Эйлера. Например, число 864 — сильно ахиллесово число, поскольку φ(864) = 288 = 25•32, а число 1800 — ахиллесово, но не сильно ахиллесово, так как φ(1800) = 480 = 25•31•51. Существует 2 трехзначных и 5 четырехзначных сильно ахиллесовых чисел, а восьмизначных насчитывается 396. Найдите количество 18-значных сильно ахиллесовых чисел.
Задачу решили:
3
всего попыток:
8
Рассмотрим бесконечную строку S, состоящую из записанных подряд натуральных чисел в десятичной записи: S =1234567891011121314151617181920212223242... Ясно, что десятичная запись каждого натурального числа n встретится в строке S бесконечно много раз. Будем отмечать, где именно встретились такие вхождения. Например, число 12 первый раз встретится, начиная с позиции 1 строки S, а второй раз — с позиции 14, и так далее. Обозначим через f(n) номер позиции в строке S, с которого начинается n-ое вхождение числа n. Например, f(1)=1, f(5)=81, f(11)=235, а f(7780)=111111365. Найдите ∑f(11k), где 1≤k≤6.
Задачу решили:
6
всего попыток:
8
Рассмотрим игру для двух участников. Игровое поле представляет собой полоску из n клеток белого цвета. Ходы совершают по очереди. Каждым ходом игрок должен закрасить любые две соседние белые клетки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Таким образом, первые три значения n, при которых первый игрок выигрывает – это 2,3 и 4, а первые два проигрышных значения – это 1 и 5. Третье проигрышное значение n=9, десятое: n=43. Найдите миллионное значение n, при котором второй игрок всегда может победить.
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.
|