В полоске, состоящей из пяти черных квадратов, будем заменять несколько идущих подряд клеток на прямоугольники разных цветов. При этом прямоугольники 2 × 1 будут красного цвета, 3 × 1 - зеленого, 4 × 1 - синего, а прямоугольник длиной 5 клеток окрасим в желтый цвет.

Используя красные прямоугольники, это можно сделать ровно семью способами:

Для зеленых прямоугольников есть три варианта:

Синие прямоугольники можно поставить только двумя способами:

А для желтых прямоугольников возможен один единственный вариант:

Итак, используя цветные прямоугольники какого-либо одного из имеющихся цветов, можно заменить часть черных квадратов в полоске длиной 5 единиц 7 + 3 + 2 + 1 = 13 способами.

Сколькими способами можно заменить цветными прямоугольниками часть черных квадратов в полоске длиной 50 единиц, если можно использовать цветные полоски только одного из имеющихся четырех цветов, и использован хотя бы один цветной прямоугольник? ("Смешивать" цвета нельзя, т.е. как и в примере, каждая полоска может содержать лишь один цвет, не считая черного).

Используя девять цифр от 0 до 8, объединяя их в группы и переставляя, можно образовать различные числовые множества. В частности, множество {2,61,487,503} состоит исключительно из простых чисел.

Сколько различных множеств можно сформировать, используя ровно один раз каждую цифру от 0 до 8, так, чтобы все элементы множества были простыми?
Замечание: натуральные числа не могут начинаться с нуля.

Число 512 имеет интересное свойство: оно равно сумме своих цифр в некоторой степени: (5+1+2)³=512. Другое число с аналогичным свойством – 614656=28⁴.

Найдите сумму натуральных чисел, равных сумме своих цифр в некоторой целой степени и не превышающих 10¹⁴.

У вас есть много карточек с римскими цифрами. Выложите последовательно все числа от 1 до 3999.  Какое количество карточек вам потребуется?

Найдите количество 32-значных чисел в системе счисления с основанием 17, таких что их запись не содержит двух подряд идущих нулей.

Для выражения (2a+1)ⁿ + (2a-1)ⁿ, для каждого конкретного a, остатки при делении этого выражения на a² могут отличаться для разных n. Найдите сумму всех максимальных (при изменении n) остатков при делении выражения на a², для a от 5 до 2009 включительно.

На плоскости нарисована пятиконечная звезда  с центром в начале координат и одной вершиной в точке с координатами (100,0). Сколько точек с целочисленными координатами находится внутри звезды?

Первое, что приходит в голову, когда нужно возвести число в 15-ю степень, это просто выполнить четырнадцать умножений:

n n ... n = n¹⁵

Если использовать "бинарный" метод, того же результата можно достичь, выполнив всего шесть умножений:

n n = n²
n² n² = n⁴
n⁴ n⁴ = n⁸
n⁸ n⁴ = n¹²
n¹² n² = n¹⁴
n¹⁴ n = n¹⁵

Но оказывается, что количество умножений можно сократить до пяти:

n n = n²
n² n = n³
n³ n³ = n⁶
n⁶ n⁶ = n¹²
n¹² n³ = n¹⁵

Определим m(k) как минимальное количество умножений, необходимое для вычисления n^k; например, m(15) = 5.

Найдите наименьшее значение k, для которого m(k)=12.

Найдите сумму первых 2010 цифр после запятой произведения e·π (e - основание натурального логарифма).