Совершенные числа равны сумме своих делителей (исключая само число). Полусовершенными числами назовем натуральные числа, которые на единицу больше или меньше суммы своих делителей. Например, 2 или 4. Найдите сумму всех полусовершенных чисел, меньших 10⁹.

Рассмотрим окружность, заданную тремя точками (0,0), (N,0) и (N,N).
Обозначим через f(N) количество точек с целочисленными координатами, лежащих на этой окружности.
Можно показать, что f(10000)=36.

Найдите сумму  таких натуральных N≤10¹¹, для которых f(N) = 588.

Напомним, что функция Эйлера φ(n) определена для натуральных аргументов n и равна количеству натуральных чисел, не больших n и взаимно простых с ним.
6227180929 является наименьшим числом, для которых φ(n)=13!
Найдите сумму всех n, для которых φ(n)=13!

Дано множество простых чисел, не превышающих 5000:
S = {2, 3, 5, ..., 4999}
Найдите, сколько оно содержит подмножеств, у которых количество элементов нечетно, а сумма элементов является простым числом.
В качестве ответа укажите последние 16 знаков результата.

Найдите количество непустых подмножеств множества

{1²⁵⁰²⁵⁰, 2²⁵⁰²⁴⁹, 3²⁵⁰²⁴⁸,... , 250249², 250250¹},

у которых сумма элементов кратна числу 250. В качестве ответа укажите 16 младших десятичных цифр результата.

Для заданного множества точек на плоскости М определим выпуклую дыру H как многоугольник, все вершины которого принадлежат множеству М, и ни одна точка из М не содержится во внутренней области H (на сторонах многоугольника точки лежать могут).
В качестве примера на рисунке ниже показано множество М из 20 точек и несколько из заданных им выпуклых дыр.

Красным цветом показана выпуклая дыра наибольшей площади: ее площадь составляет 1049694,5 единиц, и для данного множества М нет выпуклых дыр с большей площадью.

Для нашего примера мы использовали первые 20 точек, полученные с помощью генератора случайных чисел следующим образом. Точка с номером k имеет координаты (T_2k-1, T_2k), а псевдослучайные числа T_k получены при помощи рекуррентной формулы:

S_n+1 = S_n² mod 50515093,
где S₀ = 290797
и
T_n =(S_n mod 2000) - 1000.

Тогда координаты первых трех точек будут:
(527,144), (-488,732), (-454,-947).
Постройте с помощью указанного генератора псевдослучайных чисел множество М из первых 500 точек  и найдите для него выпуклую дыру наибольшей площади. Ответом задачи является периметр указанной дыры, округленный до целого.

Определим f(n) как сумму факториалов цифр числа n. Например, f(342) = 3! + 4! + 2! = 32.
Определим sf(n) как сумму цифр числа f(n). Например, sf(342) = 3 + 2 = 5.
Определим g(i) как наименьшее натуральное n, для которого sf(n) = i. Так, sf(342) = 5 и sf(25) = 5, и при этом можно проверить, что  наименьшим n, для которого sf(n) = 5 является число 25, поэтому g(5) = 25.
Определим sg(i) как сумму цифр числа g(i). Например, sg(5) = 2 + 5 = 7.
Для некоторых i значения sg(i) совпадают. Например, sg(5)=sg(10)=7;
Можно проверить, что сумма различных значений sg(i) при 1 ≤i ≤20 равна 108.
Найдите сумму различных значений sg(i) при 1 ≤i≤150.

Дан треугольник ABC, длины сторон которого выражаются различными целыми числами: |CB|<|AC|<|AB|.
Биссектрисы треугольника пересекают его стороны в точках E, F и G, как показано на рисунке:

Отрезки EF, EG и FG разбивают треугольник ABC на четыре треугольника меньшего размера: AEG, BFE, CGF и EFG.
Можно показать, что отношения площадей этих треугольников всегда выражаются рациональными числами, но иногда это отношение оказывается целым.
Найдите, сколько существует различных треугольников ABC, для которых отношение площадей треугольника ABC и треугольника AEG выражается целым числом, а |CB|<|AC|<|AB|≤50 000 000.

Последовательность g(k) задана следующим образом:
g(k) = 1, при 0 ≤k ≤1999
g(k)= g(k-2000) + g(k-1999), при k ≥2000.
Найдите остаток от деления суммы g(10⁰)+ g(10¹)+ g(10²)+…+ g(10¹⁸) на 12344321.

Будем называть натуральное число достижимым, если оно является значением выражения, построенного по следующим правилам:
1. В выражении должны быть использованы все цифры от 1 до 9 в порядке возрастания, каждая ровно по одному разу.
2. Несколько последовательных цифр могут быть объединены в десятичное число, например, цифры 2,3 и 4 могут быть объединены в число 234.
3. Можно использовать четыре арифметических действия, каждое из них может быть использовано любое количество раз или не использовано вовсе.
4. Пользоваться унарным минусом нельзя
5. Можно  использовать любое количество вложенных пар скобок для задания порядка действий.
Например, число 42 достижимо, поскольку  (1/23) * ((4*5)-6) * (78-9) = 42.

Сколько всего существует достижимых чисел?