Лента событий:
DOMASH
добавил
комментарий к решению задачи
"Четырёхугольники в прямоугольниках" (Математика):
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Задачу решили:
4
всего попыток:
13
Две лестницы длиной x и y опираются на противоположные стены коридора шириной w, как показано на рисунке. Пусть h – высота, на которой лестницы пересекаются. Нас интересуют случаи, когда все четыре числа – x,y,w и h – оказываются целыми. Например, для x = 70 и y = 119 можно найти пару подходящих целых чисел h = 30 и w = 56. При 0<x<y<200 есть ровно пять пар (x,y), для которых существуют целые h и w, а именно: (70, 119), (74, 182), (87, 105), (100, 116) и (119, 175). А сколько существует пар (x,y) при 0<x<y<1 000 000, для которых можно подобрать целые значения w и h?
Задачу решили:
3
всего попыток:
3
Как и в стандартной игре Ним, в игре Простой Ним участвуют два игрока, которые по очереди берут камни из трех куч. Каждым ходом игрок может взять из одной кучи некоторое количество камней, если это количество выражается простым числом. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Позиция в Простом Ниме характеризуется тройкой неотрицательных целых чисел (a,b,c). Как обычно, выигрышной позицией считается такая позиция, что при правильной стратегии очередной игрок может обеспечить себе победу. Остальные позиции называются проигрышными. Можно подсчитать, что при 0≤a≤b≤c≤29 существует 651 проигрышная позиция. Найдите, сколько существует проигрышных позиций при 0≤a≤b≤c≤20000.
Задачу решили:
2
всего попыток:
3
Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник с целыми сторонами, и 1 ≤ AB < BC < CD < AD. Точка O – середина диагонали BD. Будем называть четырехугольник ABCD биклинным, если длины отрезков BO, DO, AO и CO – целые числа, и AO = CO < BO = DO. Например, когда AB = 19, BC = 29, CD = 37, AD = 43, BD = 48 и AO = CO = 23, четырехугольник ABCD является биклинным. Обозначим через B(N) количество различных биклинных четырехугольников ABCD с целыми сторонами, у которых |AB|2+|BC|2+|CD|2+|AD|2 ≤ N.. Можно проверить, что B(10 000) = 48 и B(1 000 000) = 38108. Найдите B(10 000 000 000).
Задачу решили:
3
всего попыток:
7
Когда стали раздавать бесплатные участки на Луне, были установлены следующие правила. Каждому государству выделяется квадратная площадка размером 500 х 500 м. Площадка расчерчена на клетки размером 1 х 1 м, в углах которых установлено 251001 столбов. Забор должен состоять из прямолинейных отрезков, соединяющих столбы. Однако нужно учитывать, что строительство заборов в лунных условиях недешево. Конечно, богатые государства построили себе ограды длиной 2000 м, которые ограничивали площадь 250 000 м2. Но финансы княжества Фенвик расстроены, и правительство поручило вам, Главному Программисту, найти оптимальную форму забора, обеспечивающую максимальное отношение площади огороженного участка к длине забора. Прежде, чем писать программу, вы сделали предварительные расчеты. Для квадратного забора длиной 2000 м площадь участка получается равной 250 000 м2, а отношение площади к длине ограды равно 125. Если бы разрешалось строить криволинейные заборы, то для круглого участка диаметром 500 м площадь будет равна π*2502 м2, длина ограды - π*500 м, и отношение будет равно тому же числу 125. Если же отрезать от четырех углов площадки четыре равнобедренных прямоугольных треугольника с катетами 75 м, как показано на рисунке зеленым цветом, можно достичь существенного выигрыша. Действительно, площадь участка станет равной 238750 м2, длина забора будет равна 1400+300√2 м, а интересующее нас отношение составит примерно 130,87. При этом будет использовано 1700 столбов.
Найдите форму участка, обеспечивающую максимум отношения площади огороженного участка к длине ограды. В качестве ответа укажите количество использованных столбов.
Задачу решили:
0
всего попыток:
0
Обозначим через U(n,m) количество биномиальных коэффициентов Ckm, которые не делятся ни на 2, ни на 5, где натуральные числа m,n и k удовлетворяют неравенству m≤k<n. Например, U( 1234567890, 107-10) = 24. Найдите U(1234567890987654321, 1012-10).
Задачу решили:
3
всего попыток:
5
Последовательность Голомба {G(n)} определяют как единственную неубывающую последовательность натуральных чисел, содержащую ровно G(n) вхождений каждого натурального числа n.
Можно подсчитать, что G(210) = 87, G(220) = 6320, и что ΣG(2n) = 857297 при 1 ≤ n < 30. Найдите ΣG(2n)для 1 ≤ n < 60.
Задачу решили:
5
всего попыток:
6
Возьмем натуральное число k, и будем выписывать последовательность рациональных чисел ai = xi/yi следующим образом: 1/20 → 2/19 → 3/18 = 1/6 → 2/5 → 3/4 → 4/3 → 5/2 → 6/1 = 6 Поэтому f(20) = 6. Можно проверить, что f(2) = 2, f(3) = 1 и Σf(k3) = 18764 для простых k, не превышающих 100. Найдите Σf(k3) для простых k, не превышающих 5×106.
Задачу решили:
10
всего попыток:
22
Возьмем матрицу n×n, выберем из нее n элементов так, чтобы никакие два из них не стояли в одной строке или столбце, и найдем их сумму. Минимальное значение такой суммы будем называть матричной суммой для данной матрицы. 7 53 183 439 863 матричной суммой будет число 1075=7+79+343+343+303. Найдите матричную сумму для матрицы: 7 53 183 439 863 497 383 563 79 973 287 63 343 169 583
Задачу решили:
8
всего попыток:
16
Запишем число 57 в системах счисления по основанию 4 и 28: 5710=3214=2128 В обоих случаях
При выполнении этих условий будем говорить, что число имеет специальный вид в данной системе счисления. Так, число 57 имеет специальный вид в системах счисления с основаниями 4 и 28. Существует пять натуральных чисел 1<n<500, имеющих специальный вид хотя бы в двух системах счисления, а именно 57, 121, 209, 321 и 457. Их сумма равна 1165. Найдите сумму n (1<n<1012), имеющих специальный вид хотя бы в двух системах счисления.
Задачу решили:
20
всего попыток:
24
Многие числа могут быть представлены в виде суммы куба и квадрата, а некоторые из них даже несколькими способами. 37873 = 183+1792 = 223+1652 = 333+442 Во-вторых, оно является палиндромом, то есть его десятичная запись читается слева направо и справа налево одинаково. Найдите сумму палиндромов, не превышающих миллиарда, которые можно представить в виде суммы куба и квадрата не менее чем тремя способами.
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.
|