Обозначим через N(i) наименьшее натуральное число n,  факториал которого n! делится на (i!)^1234567890 .

Сумма N(i) для всех составных натуральных i, не превышающих 1000, равна 520804933959105.

Найдите сумму N(i) для всех составных натуральных i, не превышающих 1 000 000. В качестве ответа укажите 18 младших разрядов результата.

Рассмотрим последовательность y₀, y₁, y₂,..., где y_i - 32-битные случайные целые числа, т.е. 0≤y_i<2³², и все значения y равновероятны.

Последовательность x_i задается рекурсивно следующим образом:

• x₀ = 0 и
• x_i = x_i-1 | y_i-1, при i >0. (Символ  | обозначает побитовое ИЛИ)

Ясно, что в конце концов появится такой индекс N для которого xi окажется равным 2³²-1 при всех i≥N.

Найдите математическое ожидание величины N².

Результат умножьте на миллион и округлите вниз до целого.

Обозначим через f(n) количество способов, которыми можно построить башню 3×3×n из блоков 2×1×1.

Блоки можно вращать произвольным образом. При этом башни, отличающиеся поворотом или симметрией, считаются различными.

Например, 

f(2) = 229,

f(4) = 117805,

f(6) = 64647289,

f(63) mod 123456789 = 75292539,

f(66) mod 123456789 = 56150940.

Здесь a mod q означает остаток от деления a на q.

Найдите f(6¹²³⁴⁵) mod 123456789.

Рассмотрим пару последовательностей a_n и s n , заданных следующим образом:

a₁ = 1, s₁ = 1, a_n = s_n-1 mod n, s_n = s_n-1+ a_n×n.

(Здесь и далее "x mod y" означает остаток от деления x на y.)

Первые 10 элементов последовательности an:

1,1,0,3,0,3,5,4,1,9.

Первые 10 элементов последовательности sn:

1,3,3,15,15,33,68,100,109,199.

Обозначим через h(N,M) количество таких пар (p,q), для которых

1≤p≤q≤N  и  (s_p + s_p+1 +… + s_q-1 + s_q ) mod M = 0

Можно проверить, что h(10,10)=5, а соответствующие пары – (1,6), (4,5), (4,9), (6,9) и (8,8).

h(10⁴,10³)= 107796.

Найдите h(10¹²,10⁶).

На каждую клетку доски N×N положили по шашке, окрашенной в белый цвет с одной стороны и в черный цвет с другой.

Каждым ходом разрешается перевернуть одну шашку, а вместе с нею N-1 шашек, стоящих  на одной с ней вертикали, и N-1 шашек, стоящих  на одной с ней горизонтали. Таким образом, каждым ходом игрок должен перевернуть 2×N-1 шашку. Игра заканчивается, когда все шашки будут стоять белой стороной вверх. Ниже приведен пример игры для доски 5×5.

Несложно проверить, чтобы закончить игру из данной начальной позиции, нужно как минимум 3 хода.

Пусть строки и столбцы перенумерованы целыми числами от 0 до N-1.

Построим на доске N×N начальную конфигурацию C_N. Для этого на клетку с координатами x и y положим шашку черной стороной вверх, если (N-1)²≤x²+y²<N², и белой стороной вверх в противном случае. Конфигурацию C₅ мы видели в приведенном примере.

Пусть T(N) – минимальное количество ходов, необходимых для окончания игры из начального положения C_N (если это невозможно T(N) = 0).

Ясно , что T(1)=T(2)=1. Мы видели, что T(5)=3. Можно проверить, что T(10)=29, а T(1000)=395253.

Найдите сумму T(k!) для 1≤k≤12.

Вагоны поезда обозначены буквами латинского алфавита: A,B,C,D..., и последовательность вагонов в железнодорожном составе можно задать с помощью соответствующей цепочки букв.

В правильно сформированном составе вагоны должны следовать алфавитном порядке. Добиваются этого на сортировочной станции, где установлен большой поворотный круг.

Когда состав въезжает на круг, несколько последних вагонов отцепляют, после чего локомотив с остальными вагонами съезжает с круга. Вагоны, стоящие на круге, поворачивают на 180 градусов и вновь прицепляют в хвост состава, но уже в обратном порядке. Эту операцию повторяют несколько раз, пока не достигают желаемого результата.

В некоторых случаях сформировать состав совсем просто. Например, когда исходный порядок вагонов ADCB, вагоны можно расцепить между A и D, затем развернуть фрагмент DCB, и, наконец, сцепить вагоны в нужном порядке. Результат достигается всего за один шаг, т.е. за один поворот круга на 180 градусов.

Возможно, процесс можно оптимизировать, но машинист пользуется совсем простым алгоритмом. Сначала он стремиться прицепить вагон A следом за паровозом, затем следом за ним вагон B, и так далее.

Машинист выяснил, что для состава из четырех вагонов потребуется не более 5 шагов. Максимальное количество - 5 операций - требуется для двух начальных последовательностей, а именно DACB и DBAC. Последовательности вагонов, требующие наибольшего количества операций для упорядочения, будем называть пессимальными.

Порядок формирования состава для начальной последовательности  DACB показан на рисунке.

Для состава из шести вагонов машинист составил список пессимальных последовательностей. Список содержал 24 последовательности. Последовательности он расположил в алфавитном порядке, и цепочка DFAECB оказалась на десятом месте от начала.

Представьте, что вам поручили составить список пессимальных последовательностей для составов из 11 вагонов и упорядочить получившийся список в алфавитном порядке.

На каком месте в списке окажется последовательность CIAKBGHFJDE?

Будем вырезать из бумаги в клетку прямоугольники размером w × h клеток, где w и h – натуральные числа. Некоторые из них можно разрезать по клеточкам на две части так, что из этих частей составится новый прямоугольник другого размера.
Например, прямоугольник размером 9 × 4 клетки можно превратить в прямоугольники 18 × 2, 12 × 3 или 6 × 6, как показано на рисунке:

Аналогично, из прямоугольника 9 × 8 можно сделать прямоугольники размером 18 × 4 и 12 × 6 клеток.
Обозначим через F(w, h) количество различных прямоугольников, которые можно получить из прямоугольника размером w × h клеток. При этом прямоугольники с размерами a × b и b × a считаются одинаковыми, а прямоугольники, конгруэнтные исходному, не учитываются.
Тогда получим: F(2,1) = 0, F(2,2) = 1, F(9,4) = 3 и F(9,8) = 2.
Пусть G(N)=Σ F(w, h) для всех 0 < h ≤ w ≤ N.
Можно проверить, что G(10) = 55, G(10³) = 971745, а G(10⁵) = 9992617687.
Найдите ΣG(10^k), где 1≤k≤12. В качестве ответа укажите 8 младших цифр результата.

"Передур же поехал дальше долиной реки, вдоль которой расстилались луга. И на одном берегу реки он увидел стадо белых овец, а на другом - стадо черных. И как только одна из белых овец блеяла, черная овца переплывала реку и становилась белой. Когда же блеяла черная овца, одна из белых овец переплывала реку и делалась черной"
Передур, сын Эвраука

Первоначально каждое стадо состоит из n овец. Каждая овца, независимо от масти, может заблеять в очередной раз. Передур стремится максимизировать количество черных овец. Для этого он может прогонять прочь любое количество белых овец, но делать это он может лишь после того, как заблеяла очередная овца и до того, как овца с противоположного берега вошла в реку.
Пусть E(n) – ожидаемое количество черных овец, которое останется у Передура при оптимальной стратегии. Например, E(5) ≈ 6.871346…
Найдите наименьшее n, для которого E(n)>20000.

Пусть  a, b, c – натуральные числа, а функция F(n) определена следующим образом:
F(n) = n - c при n > b
F(n) = F(a + F(a + F(a + F(a + n)))) при n ≤ b. 
Пусть также 

Тогда, например, при a = 50, b = 2000 и c = 40, получим F(0) = 3240, F(2000) = 2040,
а Z(50, 2000, 40) = 5044935.
Найдите остаток от деления Z(21⁷, 7²¹, 12⁷) на 987654321.

Фруктовый сад имеет шестиугольную форму, а деревья в саду растут в вершинах треугольной решетки. На рисунке показан план такого сада со стороной n=5:

Из центра сада можно увидеть только часть деревьев, поскольку некоторые (они на рисунке обозначены зеленым цветом) заслонены другими, растущими ближе к наблюдателю. Легко подсчитать, что для сада со стороной n=5 количество заслоненных деревьев равно 30.
Обозначим через H(n) количество заслоненных деревьев для шестиугольного сада со стороной n.
Можно проверить, что H(5) = 30, H(10) = 138, а H(1000) = 1177848.
Найдите H(1234567890).