Лёва и Петя поспорили, у кого лучше память, и решили проверить. Для этого они обзавелись генератором случайных чисел, настроили его на получение случайных чисел от 1 до 10 и стали соревноваться, кто больше чисел запомнит. По условию игры участник получает очко, если очередное число все еще хранится в его памяти. Побеждает тот, кто набрал больше очков.

По ходу дела выяснилось, что и Лёва, и Петя могут удержать в голове не более пяти разных чисел. Если игрок уже помнит пять чисел, то чтобы запомнить следующее, не содержащееся к этому моменту в его памяти, он вынужден забыть одно из имеющихся. Однако оказалось, что забывание происходит несколько по-разному:

• Лёва забывает то число, которое не выдавалось генератором наиболее продолжительное время
• Петя забывает то число, которое первым попало в память.

В начале соревнования память игроков свободна.

Вот пример начала игры:

Обозначим количество очков, которые Лёва и Петя набрали после 50 туров через L и P, соответственно. Найдите математическое ожидание величины (L-P)², результат умножьте на 10⁸ и округлите до ближайшего целого.

Для каждого натурального числа n определим f(n) как наименьшее натуральное число, кратное n, десятичная запись которого состоит из нулей, двоек и троек.

Например, f(1)=2, f(3)=3, f(4)=f(5)=f(10)=20, f(7)=203, f(9)=333, f(89)= 20203.

Можно подсчитать, что 

f(1)/1 + f(2)/2 + f(3)/3+ ... + f(100)/100 = 19443

Найдите f(1)/1 + f(2)/2 + f(3)/3+ ... + f(10000)/10000

Английский математик Джон Хортон Конвей изобрел множество математических развлечений, доставляющих не только удовольствие, но и пищу для серьезных размышлений. Одно из его изобретений – язык программирования FRACTRAN, о котором пойдет речь в данной задаче.

Память данных виртуальной машины языка FRACTRAN содержит одно единственное целое число, а программа представляет собой упорядоченную последовательность рациональных дробей. На каждом шаге выполнения программы машина просматривает эти дроби одну за другой слева направо и умножает каждую из них на число из памяти, пока произведение не окажется целым. Полученное целое число записывают в память вместо предыдущего. 

Вот, например, FRACTRAN-программа, предложенная Конвеем для получения последовательности простых чисел:

17/91, 78/85, 19/51, 23/38, 29/33, 77/29, 95/23, 77/19, 1/17, 11/13, 13/11, 15/2, 1/7, 55/1.

Записав в память исходное значение 2, получим в памяти ряд чисел в следующей последовательности:

15, 825, 725, 1925, 2275, 425, 390, 330, 290, 770, 910, 170, 156, 132, 116, 308, 364, 68, 4, 30, ..., 136, 8, 60, ..., 544, 32, 240, ...

Оказывается, степени двойки в полученной последовательности встречаются только с простыми показателями: 2², 2³, 2⁵, ..., и можно проверить, что данная последовательность будет содержать в порядке возрастания все степени двух с простыми показателями.

Заметим, что для получения 2² из исходного числа 2 потребовалось 19 шагов программы, и при этом три раза происходило умножение на дробь 13/11.

А сколько раз придется выполнить умножение на 13/11 при переходе от исходного числа 2 к 2¹¹¹¹¹⁹?

Рассмотрим построение последовательности графов Серпинского:

• Граф Серпинского первого порядка S1 представляет собой равносторонний треугольник (три вершины и три соединяющих их ребра).
• Граф Серпинского  S_n+1 порядка n+1 представляет собой объединение трех графов S_n, имеющих попарно общую вершину, как показано на рисунке:

Пусть C(n) — количество циклов, проходящих через каждую вершину  S_n ровно один раз. Например, C(3)=8, поскольку граф  S₃ позволяет построить ровно 8 подобных циклов, как показано на рисунке: 

Легко проверить, что 

C(1) = C(2) = 1

C(5) = 71328803586048

C(10 000) mod 10⁸ = 37652224

C(10 000) mod 7¹⁰ = 221100305

(Здесь a mod b означает остаток от деления a на b.)

Найдите C(C(C(10 000))) mod 7¹⁰.

Рассмотрим вещественное число √2+√3 и рассчитаем его четные степени:

(√2+√3)² = 9.898979485566356...

(√2+√3)⁴ = 97.98979485566356...

(√2+√3)⁶ = 969.998969071069263...

(√2+√3)⁸ = 9601.99989585502907...

(√2+√3)¹⁰ = 95049.999989479221...

(√2+√3)¹² = 940897.9999989371855...

(√2+√3)¹⁴ = 9313929.99999989263...

(√2+√3)¹⁶ = 92198401.99999998915...

Интересно, что количество девяток в дробной части полученных значений не убывает, и можно доказать, что сама дробная часть при больших n стремится к 1.

В этой задаче мы рассматриваем только вещественные числа, которые можно представить в виде √p+√q , где p и q – натуральные числа, p<q, а дробная часть выражения (√p+√q)²ⁿ стремится к 1 при больших n.

Пусть C(p,q,n) — количество девяток после запятой в числе (√p+√q)²ⁿ, а N(p,q) — минимальное значение n, при котором C(p,q,n)≥2013.

Найдите количество чисел вида √p+√q, где 1≤p<q≤2013, для которых N(p,q)>2013.

Пусть последовательность n натуральных чисел x₁, x₂,..., x_n обладает следующими свойствами:

• x₁ = 2
• для всех 1 <  i ≤  n : x_i-1 <  x_i
• для всех i и j из интервала 1 ≤ i, j ≤  n выполняется неравенство (x_i)^j <  (x_j + 1)ⁱ

Существует всего 5 таких последовательностей длины 2, а именно {2,4}, {2,5}, {2,6}, {2,7} и {2,8}, 293 таких последовательности длины 5, например {2,5,11,25,55}, {2,6,14,36,88}, {2,8,22,64,181}.

Пусть t(n) — количество таких последовательностей длины n.

Тогда t(10) = 86195 и t(20) = 5227991891.

Найдите 7 последних цифр Σt(2^k) для 0 ≤ k ≤ 33.

Рассмотрим последовательность y₀, y₁, y₂,..., где y_i - 32-битные случайные целые числа, т.е. 0≤y_i<2³², и все значения y равновероятны.

Последовательность x_i задается рекурсивно следующим образом:

• x₀ = 0 и
• x_i = x_i-1 | y_i-1, при i >0. (Символ  | обозначает побитовое ИЛИ)

Ясно, что в конце концов появится такой индекс N для которого xi окажется равным 2³²-1 при всех i≥N.

Найдите математическое ожидание величины N².

Результат умножьте на миллион и округлите вниз до целого.

Обозначим через f(n) количество способов, которыми можно построить башню 3×3×n из блоков 2×1×1.

Блоки можно вращать произвольным образом. При этом башни, отличающиеся поворотом или симметрией, считаются различными.

Например, 

f(2) = 229,

f(4) = 117805,

f(6) = 64647289,

f(63) mod 123456789 = 75292539,

f(66) mod 123456789 = 56150940.

Здесь a mod q означает остаток от деления a на q.

Найдите f(6¹²³⁴⁵) mod 123456789.

Рассмотрим пару последовательностей a_n и s n , заданных следующим образом:

a₁ = 1, s₁ = 1, a_n = s_n-1 mod n, s_n = s_n-1+ a_n×n.

(Здесь и далее "x mod y" означает остаток от деления x на y.)

Первые 10 элементов последовательности an:

1,1,0,3,0,3,5,4,1,9.

Первые 10 элементов последовательности sn:

1,3,3,15,15,33,68,100,109,199.

Обозначим через h(N,M) количество таких пар (p,q), для которых

1≤p≤q≤N  и  (s_p + s_p+1 +… + s_q-1 + s_q ) mod M = 0

Можно проверить, что h(10,10)=5, а соответствующие пары – (1,6), (4,5), (4,9), (6,9) и (8,8).

h(10⁴,10³)= 107796.

Найдите h(10¹²,10⁶).

На каждую клетку доски N×N положили по шашке, окрашенной в белый цвет с одной стороны и в черный цвет с другой.

Каждым ходом разрешается перевернуть одну шашку, а вместе с нею N-1 шашек, стоящих  на одной с ней вертикали, и N-1 шашек, стоящих  на одной с ней горизонтали. Таким образом, каждым ходом игрок должен перевернуть 2×N-1 шашку. Игра заканчивается, когда все шашки будут стоять белой стороной вверх. Ниже приведен пример игры для доски 5×5.

Несложно проверить, чтобы закончить игру из данной начальной позиции, нужно как минимум 3 хода.

Пусть строки и столбцы перенумерованы целыми числами от 0 до N-1.

Построим на доске N×N начальную конфигурацию C_N. Для этого на клетку с координатами x и y положим шашку черной стороной вверх, если (N-1)²≤x²+y²<N², и белой стороной вверх в противном случае. Конфигурацию C₅ мы видели в приведенном примере.

Пусть T(N) – минимальное количество ходов, необходимых для окончания игры из начального положения C_N (если это невозможно T(N) = 0).

Ясно , что T(1)=T(2)=1. Мы видели, что T(5)=3. Можно проверить, что T(10)=29, а T(1000)=395253.

Найдите сумму T(k!) для 1≤k≤12.