Рассмотрим такие диофантовы уравнения:

x²-Dy²=1.

Мы будем искать минимальные (по x) решения этого уравнения в натуральных x и y. Например, для D=13 минимальное решение такое:

649²-13*180²=1.

Легко показать, что для D - полного квадрата решений не существует.

Рассмотрим минимальные решения D <= 10:

3² - 2*2²=1;

2² - 3*1²=1;

9² - 5*4²=1;

5² - 6*2²=1;

8² - 7*3²=1;

3² - 8*1²=1;

19² - 10*6²=1.

Нас будут интересовать только те D, минимальные решения которых больше всех ему предшествующих. Здесь это 2, 5, 10.

Среди всех D≤1000 не полных квадратов, найдите те у которых минимальное решение (по x) больше (по x) всех минимальных решений для меньших D. В ответе укажите сумму таких D.

Число π начинается с комбинации цифр 3,14159... Найдите первое вхождение последовательности цифр "314" в десятичной записи числа π после запятой. В ответ введите количество знаков после запятой до этой последовательности. 

Радикальное число для числа n, rad(n) это произведение всех различных простых множителей числа n. Например, 504 = 2³*3²*7, и rad(n) = 2*3*7 = 42.
Будем рассматривать тройки натуральных чисел (a, b, c) обладающие следующими свойствами:

1. НОД(a, b) = НОД(a, c) = НОД(b, c) = 1.
2. a < b
3. a + b = c
4. rad(abc) < c

Например, такой тройкой является (5, 27, 32):
НОД(5, 27) = НОД(5, 32) = НОД(27, 32) = 1
5 < 27
5 + 27 = 32
rad(4320) = 30 < 32

Для некоторых c имеется более одной такой тройки (a, b, c). До 10000 таких c всего 15.

Найдите сколько существует c меньших 100000, для которых существует более одной тройки (a, b, c), обладающих описанными выше свойствами.

Найдите минимальное n при котором в записи 3ⁿ числа имеется 7 подряд идущих нулей.

Найдите количество различных троек натуральных чисел x < y  < z < 10⁷ таких, что xⁿ+yⁿ=z^m (n и m - натуральные, n>2, m>1).

Рассмотрим функцию ([] означает округление вниз) и последовательность u(n), заданную следующим образом:

u(0) = 10⁹
u(n+1) = f(u(n))

Найдите u(10¹⁸).

Стороны правильного треугольника ABC представляют собой зеркала, обращенные отражающей поверхностью вовнутрь. В вершинах треугольника расположены бесконечно малые щели, через которые может пройти лазерный луч.
На рисунке показан путь луча, который прошел сквозь щель в вершине C, 11 раз отразился от зеркал и вышел из треугольника через ту же вершину C. Существует всего 2 пути, по которым луч может войти и выйти через вершину C, испытав при этом 11 отражений: один – это тот, что изображен на рисунке, а другой – направленный ему навстречу.

Очевидно, что есть только одна траектория, по которой луч входит и выходит через вершину C, отразившись лишь однажды.
Существует 40 траекторий, по которым луч может пройти через вершину C, отразиться от зеркал 697 раз и выйти из треугольника через ту же вершину.
Существует 9355 траекторий, по которым луч может пройти через вершину C, отразиться от зеркал не более 700 раз и выйти из треугольника через ту же вершину.
Сколько существует траекторий, по которым луч может пройти через вершину C, отразиться от зеркал не более 100000 раз и выйти из треугольника через ту же вершину.

Рассмотрим движение робота. Его траектория представляет собой гладкую кривую, составленную из 72-градусных дуг определенного радиуса. На каждом шаге робот может двигаться по часовой стрелке или против, но не может поворачиваться на месте.

На рисунке показан замкнутый путь робота, состоящий из 25 дуг и начинающийся в направлении "на север", которое обозначено стрелкой. Всего замкнутых траекторий такой длины, начинающихся в северном направлении можно насчитать 70932.

Сколько существует замкнутых траекторий, состоящих не более чем из 70 дуг, и начинающихся в северном направлении. (По одной дуге робот может проходить несколько раз).

k-значное натуральное число называется сбалансированным, если сумма его первых  [k/2]  цифр его равна сумме последних  [k/2] цифр. Здесь  x  обозначает округление вверх, например, [π] = 4 и [5] = 5.
Понятно, что все палиндромы являются сбалансированными, как и число 13722.
Обозначим через T(n) сумму всех сбалансированных чисел, меньших, чем 10ⁿ.
Например, T(1) = 45, T(2) = 540 and T(5) = 334795890.
Найдите остаток от деления T(2000) на 3¹⁵.

Будем строить последовательность строк D0, D1,… Dn …следующим образом.
Пусть D0, - двухбуквенная строка "Fa". Для n, больших нуля, построим строку Dn, заменяя все вхождения символов "a" и "b" в строке Dn-1 следующим образом:
"a"  "aRbFR"
"b"  "LFaLb"
Тогда получим, что D0 = "Fa", D1 = "FaRbFR", D2 = "FaRbFRRLFaLbFR", и так далее.
Теперь предположим, что полученная строка является программой для плоттера, в которой символ "F" означает движение пера вперед на единицу, "R" – поворот на 90 градусов направо, а "L" – поворот на 90 градусов влево. Символы "a" и "b" на рисунок не влияют. Начальное положение пера – в начале координат (0,0), а начальное направление движения – вверх (0,1).
Получив на вход строку Dn, плоттер вычертит замысловатую ломаную, называемую "Дракон Хартера – Хейтуэя порядка n". Например, на рисунке ниже показан дракон D10. Если по команде "F" перо сдвигалось на один шаг, то в отмеченную голубым точку оно попало после 500 шагов. Ее координаты – (18,16).

Теперь представим, что плоттер начертил дракона 50-го порядка. На нем отметили точки  L и M, в которые перо попало, соответственно, после 10¹² и 10¹³ шагов. Найдите расстояние |LM|. Результат округлите вниз до целого.