Лента событий:
solomon предложил задачу "Дедушка и два внука" (Математика):
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Задачу решили:
4
всего попыток:
4
Обозначим через N(i) наименьшее натуральное число n, факториал которого n! делится на (i!)1234567890 . Сумма N(i) для всех составных натуральных i, не превышающих 1000, равна 520804933959105. Найдите сумму N(i) для всех составных натуральных i, не превышающих 1 000 000. В качестве ответа укажите 18 младших разрядов результата.
Задачу решили:
1
всего попыток:
4
Широко известна игра, где один из участников задумывает целое число, а другой пытается его угадать, задавая вопросы. В этой задаче исследуется вариант такой игры, когда задумывают натуральное число из промежутка [1,n], а в качестве вопросов разрешается называть натуральные числа из этого же интервала. При этом стоимость каждого вопроса равна названному числу. Допускаются ответы трех видов:
Требуется определить задуманное число и при этом минимизировать суммарную стоимость вопросов (в дальнейшем – цена игры). Для данного числа n назовем стратегию оптимальной, если она минимизирует цену игры для самого неудачного задуманного числа. Например, при n=3 наилучшим первым ходом будет число "2". После этого при любом ответе можно будет точно определить задуманное число, поэтому больше вопросов не потребуется, и цена игры будет равна 2. Если n=8, мы могли бы выбрать в качестве стратегии "бинарный поиск". Если первым ходом мы назовем число "4", а задуманное число будет больше, чем 4, нам потребуется еще два вопроса. Пусть вторым ходом мы называем число "6". Если задуманное число больше, чем 6, нам потребуется еще один ход, скажем, "7", и цена игры составит 4+6+7=17. Мы можем существенно улучшить нашу стратегию для n=8, если первым ходом назовем число "5". Если задуманное число больше, чем 5, то вторым ходом мы можем назвать число "7", и этого будет достаточно для нахождения задуманного. Тогда цена игры составит 5+7=12. Если же задуманное число меньше, чем 5, то для его определения достаточно вторым и третьим ходом назвать "3" и "1", а цена игры составит 5+3+1=9. Поскольку 12 > 9, в худшем случае цена игры при этой стратегии будет равна 12. Получается, что данная стратегия более выгодна, чем предыдущая, и оказывается, что она оптимальна, то есть никакая другая стратегия не может гарантировать для n=8 результат меньший, чем 12. Пусть C(n) – максимальная цена игры, которая может получиться для оптимальной стратегии в худшем случае. Тогда C(1) = 0, C(2) = 1, C(3) = 2 и C(8) = 12. Можно подсчитать, что C(100) = 400. Найдите С(500000).
Задачу решили:
0
всего попыток:
0
На каждую клетку доски N×N положили по шашке, окрашенной в белый цвет с одной стороны и в черный цвет с другой. Каждым ходом разрешается перевернуть одну шашку, а вместе с нею N-1 шашек, стоящих на одной с ней вертикали, и N-1 шашек, стоящих на одной с ней горизонтали. Таким образом, каждым ходом игрок должен перевернуть 2×N-1 шашку. Игра заканчивается, когда все шашки будут стоять белой стороной вверх. Ниже приведен пример игры для доски 5×5.
Несложно проверить, чтобы закончить игру из данной начальной позиции, нужно как минимум 3 хода. Пусть строки и столбцы перенумерованы целыми числами от 0 до N-1. Построим на доске N×N начальную конфигурацию CN. Для этого на клетку с координатами x и y положим шашку черной стороной вверх, если (N-1)2≤x2+y2<N2, и белой стороной вверх в противном случае. Конфигурацию C5 мы видели в приведенном примере. Пусть T(N) – минимальное количество ходов, необходимых для окончания игры из начального положения CN (если это невозможно T(N) = 0). Ясно , что T(1)=T(2)=1. Мы видели, что T(5)=3. Можно проверить, что T(10)=29, а T(1000)=395253. Найдите сумму T(k!) для 1≤k≤12.
Задачу решили:
2
всего попыток:
9
Любое натуральное число может быть разбито на слагаемые вида 2i×3j, где i,j ≥0, но в этой задаче мы будем рассматривать лишь те разбиения, у которых ни одно слагаемое не кратно другому. В дальнейшем будем называть такие разбиения специальными. Например, разбиение числа 17 = 2 + 6 + 9 = (21×30 + 21×31 + 20×32) не будет специальным, поскольку 6 кратно 2. Разбиение 17 = 16 + 1 = (24×30 + 20×30) тоже не специальное, так как 16 кратно 1. У числа 17 есть только одно специальное разбиение, а именно 8 + 9 = (23×30 + 20×32). Некоторые числа имеют несколько специальных разбиений. Например, число 11 имеет два специальных разбиения: 11 = 2 + 9 = (21×30 + 20×32) 11 = 8 + 3 = (23×30 + 20×31) Обозначим через P(n) количество специальных разбиений числа n. Так, P(11) = 2. Можно подсчитать, что сумма простых чисел q<100, для которых P(q)=2 равна 641. Найдите сумму простых q < 1000000, для которых P(q)=2.
Задачу решили:
0
всего попыток:
0
Вообразите бесконечный в оба конца ряд чаш, перенумерованных целыми числами. В некоторых чашах лежат бобы. Разрешается делать ходы следующего вида: взять два боба из одной чаши и разложить их в две соседние. Игра заканчивается, когда сделать ход невозможно. В примере на рисунке в две соседние чаши положили 2 и 3 боба, а остальные чаши оставили пустыми. Как видно, такую игру можно закончить за 8 ходов.
Рассмотрим последовательность целых чисел bi следующего вида: b0 = 0, b1 = 289, b2 = 145 bi = (bi-1 + bi-2 + bi-3) mod 2013, где x mod y означает остаток от деления x на у. Пусть количество бобов в двух соседних чашах определяется числами b1 = 289 и b2 = 145, а остальные чаши в начальном положении пусты. В этом случае игру можно закончить за 3419100 ходов. Подсчитайте, сколько ходов потребуется для завершения игры , если в начальном положении в чашах с номерами от 1 до 1500 лежит b1, b2, ... b1500 бобов, соответственно, а остальные чаши пусты.
Задачу решили:
1
всего попыток:
1
Будем вырезать из бумаги в клетку прямоугольники размером w × h клеток, где w и h – натуральные числа. Некоторые из них можно разрезать по клеточкам на две части так, что из этих частей составится новый прямоугольник другого размера.
Задачу решили:
6
всего попыток:
8
Рассмотрим нечетное число 225 = 32 × 52.
Задачу решили:
1
всего попыток:
1
Полем игры из этой задачи является полоска из n клеток, а фишками — монеты. Выигрышной называется позиция, при которой очередной игрок, правильно выбирая ходы, может обеспечить себе победу независимо от действий второго игрока. Остальные позиции называются проигрышными.
Задачу решили:
8
всего попыток:
9
В этой задаче мы будем рассматривать натуральные числа, имеющие ровно три простых делителя. Например, число 240 имеет простые делители 2,3 и 5. Это наибольшее число, не превышающее 250, имеющее эти три простых делителя и не имеющее других. Для различных простых чисел p, q и r обозначим через M(p,q,r,N) наибольшее натуральное число, не превышающее N, которое делится на p, q и r, но не имеет других простых делителей. Если таких чисел нет, будем считать, что M(p,q,r,N)=0. Например:
Пусть S(N) – сумма различных значений M(p,q,r,N) для всех сочетаний p, q и r. Так, S(250)= 4588. Найдите S(10 000 000).
Задачу решили:
9
всего попыток:
18
Степени двойки, как известно, редко начинаются с цифры 9 (см. задачу 316). Так, первый раз это случается только для 53-й степени (253 = 9007199254740992). С двух девяток подряд начинается 93-я степень, а с трех девяток - только 2621-я. Найдите минимальный показатель степени n такой, что десятичная запись числа 2n начинается с десяти девяток подряд.
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.
|