Найти максимальное число, меньшее 10⁷, которое имеет наибольшее количество представлений в виде суммы различных простых чисел.

Рассмотрим все числа, которые могут быть представлены в виде

5ⁿ¹+5ⁿ²+5ⁿ³+...,

где n1, n2, n3 - различные натуральные числа. Упорядочим их по возрастанию, 5, 25, 30, 125, 130, 150,... Какое число окажется на тысячном месте?

Дата, записанная в виде ДДММГГГГ, является палиндромом, если она читается одинаково слева направо и справа налево, такой датой  является, например, 26111162 (26 ноября 1162 года). Сколько таких дат палиндромов было с начала новой эры до 2009 года в современном летоисчислении?

Функция Эйлера φ(n) определяется так: для любого натурального n>1 её значение равно количеству натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с n, по определению φ(1)=1, в частности φ(9)=6 (числа 1, 2, 4, 5, 7, 8 - взаимно просты с числом 9). 

Значение функции φ(87109) = 79180 интересно тем, что оно может быть получено перестановкой цифр в аргументе функции 87109. Найти сумму всех аргументов, меньших 1 миллиона, обладающих таким же свойством.

k-угольные числа задаются формулой:

P_n(k)=n+(k-2)n(n-1)/2.

Имеется уникальный набор k-угольных четырехзначных чисел: 8128, 2882, 8281, который обладает следующими свойствами.

1. Две последние цифры первого числа являются первыми цифрами второго, две последние цифры второго числа являются первыми цифрами третьего и, две последние цифры третьего числа являются первыми цифрами первого.

2. Числа 8128=P₁₂₇(3), 8281=P₉₁(4), 2882=P₄₄(5) являются k-угольными с последовательными номерами k=3, 4, 5.

Найдите 7 k-угольных четырехзначных чисел, которые обладают описанными свойствами для k=3, 4, ..., 9. Чему равен максимум их суммы?

Из числа 41063625=345³ перестановкой цифр можно получить еще два числа, которые являются кубами: 56623104=384³ и 66430125=405³. Найти наименьшее число, являющееся четвертой степенью натурального числа, перестановкой цифр в котором можно получить еще ровно 2 различных числа, являющихся четвертыми степенями.

Назовём число a представимым n-ной степенью, если существует натуральные числа x и n, такие что a = xⁿ.

Найдите количество n-значных чисел, которые являются представимыми степенью n или n/2.

Например, четырехзначное число 1024 представимо как вторая степень (32²), а число шестизначное число 531441 представимо как шестая степень (9⁶).

Найти сумму всех n-значных натуральных чисел, являющихся степенями порядка 2n некоторых натуральных чисел.

Игра Ним - игра для двух человек. Правила игры очень просты.
Есть несколько кучек камней. Двое по очереди делают ходы. Ход заключается в том, что игрок выбирает непустую кучку и берет из нее любое число камней (ненулевое). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Если изначально в игре три кучки: 10, 15, 20, то при правильной игре выиграет первый игрок, а если 10, 20 и 30, то второй. Найдите минимальное n для которого в игре "10 20 30 40 50 60 70 80 90 n" выиграет второй.

Найти наименьшее натуральное число n для которого 2ⁿ + 3 делится на простое число 625406681329.