В параллелограмме АВCD на стороне ВС отмечена точка К так, что АК является биссектрисой угла А, отрезок KD является биссектрисой угла АКС.

Длина отрезка КС равна целому числу, отношение длины отрезка ВК к длине отрезка КС равно целому числу. Найдите миллиардную (по возрастанию) целочисленную площадь параллелограмма.

Египетский треугольник – это прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Из двух таких треугольников можно сложить фигуру, имеющую ось симметрии, например, равнобедренный треугольник, изображенный на рисунке.

Из какого наименьшего нечетного числа таких треугольников можно сложить фигуру, имеющую ось симметрии. В ответе укажите это число.

На гербе Октябрьского района Республики Калмыкия расположена «золотая изломанно-плетеная фигура особого вида – замкнутый узел наподобие косвенной решетки…». Так называемый «Узел счастья» - древнейший символ, используемый традиционно калмыками как символ благополучия, процветания и счастья.  (Рис.1).

В орнаменте  можно выделить десять квадратов, центры которых в свою очередь являются вершинами пяти квадратов   (Рис.2 а). Один из таких квадратов выделен белым (серебристым) цветом (Рис.2 б)). Данная фигура является «магической»: можно  расставить цифры в десяти квадратах от 0 до 9 так, чтобы в каждом из пяти квадратов сумма чисел в их  вершинах была одинакова. На Рис.2 в) показано одно из решений: «магическая» сумма равна 18.

Найти различные возможные значения «магических» сумм. В ответе укажите их сумму.

В квадрат вписана окружность. Отрезок MN длиной 289 с концами на смежных сторонах квадрата отсекает от него примитивный пифагоров треугольник и касается  окружности. Чему равен радиус окружности?

Поверхность простой (тригональной) бипирамиды разрезать на минимальное число частей и сложить из них без наложений и просветов три равных правильных октаэдра, не имеющих общих точек. Чему равно это число?                                                          Простая (тригональная) бипирамида - это многогранник, состоящий из двух равных правильных тетраэдров, имеющих общую грань.                                                                                                                                       

Найдите количество таких натуральных чисел n<100, что число 10ⁿ + 1 имеет хотя бы один простой делитель типа 4k+3.

В правильном треугольнике АВС проведены чевианы AD и ВЕ так, что |BD|:|DC|=2:1, |СЕ|:|ЕА|=2:1. Найти отношение длины отрезка СО к стороне треугольника(О-точка пересечения чевиан). В ответе указать квадрат этого значения.

Управдом Остап Бендер собирал с жильцов деньги на установку новых квартирных номеров. Адам Козлевич
из 105-й квартиры поинтересовался, почему у них во втором подъезде надо собрать денег на 40% больше,
чем в первом, хотя квартир там и тут поровну. Не растерявшись, Остап объяснил, что двузначные номера стоят вдвое,
а трёхзначные — втрое больше, чем однозначные. Сколько квартир в подъезде?