Вовочка из натурального ряда от 1 до 2024 сначала вычеркнул первое, третье, пятое и так далее числа. Из оставшегося ряда он снова вычеркнул первое, третье, пятое и так далее числа. Он занимался этим до конца урока, пока не осталось единственное невычеркнутое число. Какое число осталось?

На сторонах прямоугольного треугольника построены квадраты снаружи с целочисленными значениями площадей. Внутри треугольника вписан квадрат так, что одна из сторон лежит на гипотенузе, а две противоположные вершины лежат на катетах. Площадь квадрата,построенного на одного из катетов, равна 2, площадь внутреннего квадрата равна приблизительно 1 с наибольшим приближением. Найти площадь квадрата, построенного на гипотенузе.

Одни и те же четыре фигуры – два треуольника и два полиомино – складываются двумя способами в виде "большого треугольника", по такому принципу:

1. Все вершины фигур лежат в узлах квадратной сетки.
2. Исходные треугольники касаются острыми углами.
3. В одном случае два полиомино заполняют некоторый прямоугольник, а во втором случае – другой прямоугольник, в котором – о чудо! – оказывается ещё одна лишняя клетка.

На плоскости через точку А проведено 29 прямых, через точку B проведено 34 прямых. Каждая прямая первого пучка пересекают каждую прямую второго пучка, и наоборот. Прямых, принадлежащих обоим пучкам, нет. На сколько частей делят плоскость все эти прямые?

Например, на рисунке две прямые пучка А и три прямые пучка B делят плоскость на 15 частей.

За какое минимальное количество ходов можно из фигуры А змейки Рубика:

получить фигуру Б?

Покажите пример решения. Ходом считается один поворот двух частей змейки Рубика на 180 градусов вокруг одного шарнира.

Центр окружности с радиусом 12 находится на гипотенузе,равной 35, и касается с катетами треугольника. Найти площадь треугольника.

На противоположных берегах реки напротив друг друга растут две пальмы. Высота одной из них 10 м, высота другой - 15 м, расстояние между основаниями пальм 25 м. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно птицы замечают рыбу, выплывшую на поверхности реки между пальмами. Птицы бросаются к рыбе и достигают ее одновременно. На каком расстоянии от основания меньшей пальмы выплыла рыба? (Птицы летят к рыбе по прямым с одинаковой скоростью).

Дедушке прописали принимать по полтаблетки каждый день в течение 60 дней. В пузырьке было 30 целых таблеток. В первый день он вытряхнул из пузырька таблетку и разломал ее пополам, одну половинку принял, а вторую положил обратно в пузырёк. Каждый следующий день он случайным образом вытряхивал из пузырька таблетки - если это оказывалась целая таблетка, то он ее разламывал и принимал половинку, а вторую клал в пузырёк, если выпадала половинка, то он принимал её. На какой день с вероятностью не менее 1/2 выпадет половинка таблетки? 

В треугольнике один из углов на 120° больше другого. Найти отношение длины высоты к длине биссектрисы, опущенных из вершины третьего угла.

Из двузначного числа, умноженного на однозначное, вычли однозначное и получили 1. Каким эбыло двузначное число?